三角形三边求面积公式(知道三角形三边求面积公式)

三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。

三角形三边求面积公式

假设三角形的边长分别为：a、b、c；三角形的面积等于二分之一乘以（a加b加c）。常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。下面我们利用初中的知识进行推导（注意：公式推导过程的方法比公式更为重要）

题：已知△ABC的三边为a，b，c，求△的面积S。

分析：以a为底边，欲求△ABC的面积，只需要求得BC上高。

解：不妨设BC为最大边，作△ABC的高AD（如图）。设BD=x，则DC=a-x。

由勾股定理，得

AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-DC^2,

所以c^2-x^2=b^2-(a-x)^2,

整理，得

2ax=a^2+c^2-b^2,

所以x=( a^2+c^2-b^2)/2a，

所以AD^2= c^2-x^2

= c^2-[( a^2+c^2-b^2)/2a]^2，

=1/(4a^2)•[4a^2c^2-( a^2+c^2-b^2)^2]

=1/(4a^2)•(2ac+ a^2+c^2-b^2)(2ac- a^2-c^2+b^2)

=1/(4a^2)•[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]

=1/(4a^2)•(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)

=1/(4a^2)•(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)，

所以AD=1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，

所以S=1/2•a•1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]

=1/4•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，

令(a+b+c)/2=p（这里的p称为三角形半周长），则

a+b+c=2p，

b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a)，

c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b)，

a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c)，

所以S=1/4•√[2p•2(p-a)•2(p-b)•2(p-c)]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].

这就是海伦公式，在我国又称为秦九韶海伦公式。公式虽然有点复杂，但和谐好记。

这个公式在实际问题中得到广泛的运用，深受民间百姓的喜爱。有了这个公式，只要将三角形三边的长一代，马上就可以算出它的面积来。由于在测量三角形土地面积时测量三边的长是最容易的，又不会存在大的争议（如果测量一边上的高往往争议不断），所以这个公式才深得人们的喜欢而广为流传。