cramer法则(Cramer法则简单应用)

Cramer法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法，它可以很方便地求出方程组的解，特别适用于较小的方程组。在本文中，我们将介绍Cramer法则的基本原理，以及如何应用它来解决实际问题。

基本原理。

Cramer法则基于行列式的性质，它根据方程组的系数矩阵和常数向量构造出一个增广矩阵，然后通过求解增广矩阵的各个子行列式来得到方程组的解。

假设有如下的线性方程组：。

$$。

\begin{cases}。

a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1\\。

a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2\\。

\cdots\\。

a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\cdots+a_{n,n}x_n=b_n。

\end{cases}。

$$。

则其系数矩阵为$A=(a_{i,j})_{n\times n}$，常数向量为$b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$。将它们组合成增广矩阵$[A|b]$，即。

$$。

[A|b]=\begin{pmatrix}。

a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}&|&b_1\\。

a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}&|&b_2\\。

\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&|&\cdots\\。

a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}&|&b_n。

\end{pmatrix}。

$$。

然后，我们用$A_i$表示将第$i$列替换为常数向量$b$所得到的新矩阵，即：。

$$。

A_i=\begin{pmatrix}。

a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&b_1&\cdots&a_{1,n}\\。

a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&b_2&\cdots&a_{2,n}\\。

\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\。

a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&b_n&\cdots&a_{n,n}。

\end{pmatrix}。

$$。

其中，$b$出现在第$i$列。

接下来，我们用$D_i$表示矩阵$A_i$的行列式，即$D_i=\det(A_i)$。然后，我们就可以用如下公式求解线性方程组：。

$$。

x_i=\frac{D_i}{\det(A)},\quad i=1,2,\cdots,n。

$$。

其中，$\det(A)$为系数矩阵$A$的行列式。

简单应用。

下面，我们通过一个例子来展示Cramer法则的应用。假设有如下的线性方程组：。

$$。

\begin{cases}。

2x_1-3x_2+5x_3=1\\。

x_1+x_2-2x_3=-3\\。

4x_1-2x_2+3x_3=1。

\end{cases}。

$$。

则其增广矩阵为：。

$$。

\begin{pmatrix}。

2&-3&5&|&1\\。

1&1&-2&|&-3\\。

4&-2&3&|&1。

\end{pmatrix}。

$$。

根据Cramer法则，我们可以分别计算出$A_1,A_2,A_3$的行列式：。

$$。

D_1=\det\begin{pmatrix}。

1&-3&5\\。

-3&1&-2\\。

1&-2&3。

\end{pmatrix}=28。

$$。

$$。

D_2=\det\begin{pmatrix}。

2&1&5\\。

1&-3&-2\\。

4&1&3。

\end{pmatrix}=75。

$$。

$$。

D_3=\det\begin{pmatrix}。

2&-3&1\\。

1&1&-3\\。

4&-2&1。

\end{pmatrix}=18。

$$。

然后，我们还需要计算出系数矩阵$A$的行列式：。

$$。

\det(A)=\det\begin{pmatrix}。

2&-3&5\\。

1&1&-2\\。

4&-2&3。

\end{pmatrix}=15。

$$。

最后，我们可以通过公式$x_i=\frac{D_i}{\det(A)}$来求出方程组的解：。

$$。

x_1=\frac{D_1}{\det(A)}=\frac{28}{15}。

$$。

$$。

x_2=\frac{D_2}{\det(A)}=\frac{5}{3}。

$$。

$$。

x_3=\frac{D_3}{\det(A)}=\frac{6}{5}。

$$。

因此，原方程组的解为$x_1=\frac{28}{15},x_2=\frac{5}{3},x_3=\frac{6}{5}$。

总结。

Cramer法则是一种简单有效的求解线性方程组的方法，其基本原理就是利用行列式的性质求解增广矩阵的各个子行列式。虽然Cramer法则只适用于较小的方程组。

克莱姆法则及行列式的几何解释

Cramer法则：。Cramer法则指出，对于一个n x n的线性方程组Ax=b，如果系数矩阵A的行列式det(A)不为0，那么方程组只有唯一解，其解为：。xi = det(Ai)/det(A)， i=1,2,...,n。其中Ai是将A的第i列替换为b所得的矩阵，det(Ai)表示Ai的行列式，det(A)表示A的行列式。克莱姆法则：。克莱姆法则也是用于求解线性方程组的方法，其原理与Cramer法则类似，都是利用矩阵的行列式来求解。不同的是，克莱姆法则是分别对每个未知数求解，而Cramer法则是一次性求解所有未知数。对于一个n x n的线性方程组Ax=b，如果系数矩阵A的行列式det(A)不为0，那么方程组的解为：。xi = det(Ai)/det(A)， i=1,2,...,n。其中Ai是将A的第i行替换为b所得的矩阵，det(Ai)表示Ai的行列式，det(A)表示A的行列式。行列式的几何解释：。行列式可以被看做是一个n维空间中n个向量所组成的一个n维“超体积”（或者说“超面积”）。当n=2时，行列式可以看做是平面上两个向量所组成的面积；当n=3时，行列式可以看做是空间中三个向量所组成的体积。具体来说，对于一个二维向量组{(a1,b1),(a2,b2)}，其行列式为：。a1b1|。a2b2| = a1*b2 - a2*b1。这个行列式可以看作是平面上两个向量(a1,b1)和(a2,b2)所组成的平行四边形的面积。对于一个三维向量组{(a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a3,b3,c3)}，其行列式为：。a1b1c1|。a2b2c2|。a3b3c3| = a1*b2*c3 + a2*b3*c1 + a3*b1*c2 - a3*b2*c1 - a1*b3*c2 - a2*b1*c3。这个行列式可以看作是空间中三个向量(a1,b1,c1)、(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3。

线性方程组的巧妙求解

Cramer法则是一种求解线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解方程组的解。假设有一个n阶线性方程组：。$$ax_1+bx_2+...+zx_n=d_1$$。$$ex_1+fx_2+...+yx_n=d_2$$。$$......$$。$$mx_1+nx_2+...+px_n=d_n$$。其中，$a,b,...,p$为系数，$d_1,d_2,...,d_n$为常数，$x_1,x_2,...,x_n$为未知数。使用Cramer法则可以求解出$x_1,x_2,...,x_n$的值。Step 1. 将系数矩阵的行列式记为$D$：。$$D=\begin{vmatrix}。a&b&...&z\\。e&f&...&y\\。...&...&...&...\\。m&n&...&p\\。\end{vmatrix}$$。Step 2. 将方程组中第i列的系数全部替换为常数项$d_i$，得到一个新的$n$阶矩阵$A_i$。$$A_i=\begin{vmatrix}。a&b&...&d_i&...&z\\。e&f&...&d_i&...&y\\。...&...&...&...&...&...\\。m&n&...&d_i&...&p\\。\end{vmatrix}$$。Step 3. 求解行列式$D_i$，$D_i$为将矩阵$A_i$行列式中第$i$列替换为常数项$d_i$后的行列式值。$$D_i=\begin{vmatrix}。a&b&...&d_i&...&z\\。e&f&...&d_i&...&y\\。...&...&...&...&...&...\\。m&n&...&d_i&...&p\\。\end{vmatrix}$$。Step 4. 解出未知数$x_i$的值。$$x_i=\frac{D_i}{D}$$。例如，一个2阶线性方程组：。$$ax+by=c$$。$$dx+ey=f$$。利用Cramer法则求解：。Step 1. 确定系数矩阵行列式$D$：。$$D=\begin{vmatrix}。a&b\\。d&e\\。\end{vmatrix}=ae-bd$$。Step 2. 将第1列系数替换为常数$c$，得到$A_1$：。$$A_1=\begin{vmatrix}。c&b\\。f&e\\。\end{vmatrix}=ce-bf$$。Step 3. 将第2列系数替换为常数$f$，得到$A_2$：。$$A。