梦见做数学题(梦见做数学题做不出来)

高考后经常梦到数学考试，这是什么心态？

我发现自己在学生时代的记忆里，有太多困惑和痛苦。

比如，在大学毕业后的十年内，我经常会梦见自己正坐在考场上参加数学考试，题目不会做、时间不够用，各种担忧、焦虑和恐惧，就像是排山倒海一般压在我的胸口。

醒来时，常常是一身冷汗。

虽然从小学、初中到高中，我的数学成绩一直非常好，算是一门“提分课”。可到头来，还是避免不了因为数学考试而感到惶恐和焦虑。

因为高考数学，实在是太“折磨”人了！

实际上大多数中小学生和家长，都曾有过“数学焦虑”。

因为这一门从“会数123”就入门的主课，在短短几年内，就会迅猛发展为连大学生都很难攻克的“奥数题”。

小学生的焦虑从五年级开始，随着“鸡兔同笼”、“植树问题”和“立体几何”的专题内容开始罗列到课本上，不少家长都会因为“陪孩子写作业”遇到困难而在家里闹得鸡飞狗跳。

学生听不懂、家长教不会，连学校里的数学老师，面对几十个孩子的困惑不解，也感到有些束手无策。

想一想，当数学作业、数学考试和数学难题，这些文字在一瞬间摆在你面前，能够保持心态平稳的，简直就是凤毛麟角。

毕竟，但凡一进入“奥数”阶段的学习，基本就是题设条件里的汉字和数字大家谁都认识，可是这一连串文字符号掺杂在一起，不管是大人还是小孩，读起来都有些吃力。

更别说，精准而巧妙地解题了。

经济合作与发展组织（OECD），曾经在2012年开展过有关“数学焦虑”的调查。

数据显示，当时全球范围内的51万平均年龄为15岁的青少年，有近三分之一都对数学课程的学习感到焦虑和无助。

可想而知，像我一样在大学毕业后还经常“梦回数学考试”的现象，绝对不在少数。

毕竟数学作为全球通行的必修课，对于各门课程来说都是基础和前提，而其中蕴藏与涵盖着的数不胜数的运算逻辑、几何思维和解题思路，即便是对于成年人来说，也是一大堆很难顺利解开的难题。

怪不得，每逢“北大韦神”在数学方面有了一些进展，在生活方面爆出一点趣闻，很多媒体记者就会一窝蜂地冲上去，赶紧采访、记录和撰写，忙得不可开交。

这一切，还不是因为大多数学生和家长，对于数学考试的“天生畏惧”吗？

甚至，畏惧到了动不动就崇拜数学天才、数学教授和数学家的，近乎病态的地步。

可见深藏在我们脑海里的“数学焦虑”，是有多么深刻啊。

从理论上讲，数学成绩好的同学，不太容易焦虑，但是患有“数学焦虑”的孩子，在数学上一定会有挫败感和厌恶感，进而影响到做题考试的正确率。

这道数学题，我估计连大学教授都做不出来！

这次的数学考试，题量大、难度高，我根本做不完！

怎么办？我们脑子都是烦躁和焦虑情绪，对这道题根本没思路！

实际上，“数学焦虑”，还与男女性别有关。

比如普遍的看法是，男生的做题能力和数学成绩，一般比女生好一些。

可是这样一种喧嚣尘上的“偏见”，一方面让女生在数学考试中更加焦虑，一方面也让男生在背书做题时，承受了一些不堪忍受的沉重压力。

女生觉得，自己就是缺乏数学思维和逻辑能力，但是想要考上好大学，又必须学好数学、多刷难题；

而男生觉得，不管老师在课堂上讲过的概念公式和解题思路，自己到底能不能融会贯通，但只要一走进考场，自己就必须拿出十二分的精神来，考出更好的成绩在女生面前炫耀。

就这样，女生想要证明自己不比男生差，男生又时刻想着赶超女生，确立自己的优势地位。

结果对于男生和女生，有关数学课程的背书做题和刷题考试，就变成了一项“挥之不去”的重担。

让同学们烦躁，让家长们焦虑，生怕大家在备考应试中的负面情绪，影响到将来高考数学的最终成绩。

那么中小学生和家长，应该如何解决在学习过程中不由自主出现的“数学焦虑”呢？

首先，拿出数学课本翻一翻，想明白自己对数学课程里的哪些概念、知识点和题型感到“焦虑”。

其次，回想一下自己对数学题和数学考试产生的消极情绪，是从哪一学段开始的。

再次，对比分析一下自己的数学成绩和预期水平到底有多大差距，反省和总结自己是否设定了不切实际的目标。

最后，想一想自己对数学课程的学习到底有没有兴趣，在哪个阶段，持续了多长时间。

归根到底，就是把自己和数学的“来龙去脉”搞得清清楚楚，从自己产生焦虑情绪的原因、过程、转折和结果入手，有的放矢地疏导和调节看上去坚不可摧的“数学焦虑”。

实际上，学习数学、思考难题和解决问题，会带给我们一种别样的思维乐趣。

但愿大家不要像曾经的我一样，满脑子都是高考成绩的高低，不知道领悟和享受思考的时光，结果毕业多年以后，还经常梦见自己正坐在考场上参加数学考试。

实在是太可笑了。

梦中能做数学题吗？

也许某些天才可以，而吾等凡夫俗子是不行的。在我的梦中，场景变化很快，而且是跳跃式的，每个场景持续的时间很短，更谈不上逻辑性。而要证明一个定理，需要多步推理且还要反复检验，在梦中当然不可能做到。

但是，在梦中出现一个好的 idea 倒并非不可能。如作诗梦见一个妙词或妙句，我还是相信的。但另一个问题是，绝大多数梦境在醒来时都忘了，只有在梦见妙句时突然醒来，才有可能记下并传之于世。

对于数学，这样的好事最近我遇到多次，写出来与大家分享，就是数学的“痴人说梦”了。

一 日 有 所 思

先得说明一下“日有所思”，才好解释什么是“夜有所梦”。

由于新冠肺炎流行，我和大家一样宅在家里。首先要做的是修订《李群与李代数基础》一书。这是2015年出版社就约稿的，去年8月我计划再讲一次定稿。尔后顺利讲完，但整理书稿的工作量仍很大。幸乎不幸乎，新冠肺炎让我有了时间，而且学校延期开学，开学后又是网上授课，这样我有了近两个月的连续工作时间，终于在上周完成了修订工作，向出版社交稿了。所以现在有时间聊些轻松愉快的话题。

开学后的教学工作，当然也是与数学有关的。一方面是研究生课程《交换代数与同调代数》，我觉得上网课肯定是不行的，遂采用了“网上讨论班”的授课方式。实行以来相当有效，因为同学们提出的问题往往是同学们先回答，而且到处查阅资料。大家在微信群中上传的文件也很多，有些贪婪的同学把整本的厚书上传，如EGA（格罗滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的简写，即《代数几何原本》）和布尔巴基学派的书。除了研究生课程，我还有对本科生甚至中学生的教学任务，这些目前还没有值得一提的进展，但仍在努力。

应该说这些工作的难度都不大，否则我晚上只会做噩梦。但毕竟每天都在玩数学，梦中就会常出现数学问题，有几个醒来时还没忘，而且觉得有点意思，下面就一个个写出来。不是按照做梦的时间顺序，而是按照难度从低到高排列的。

二 夜 之 所 梦

01、梦到数学题

记

，即“黄金分割数”。我梦到一个问题: 应该有两个整数an,bn，使得 ω-n=an+bnω ，在梦中想到an ,bn应该有递推公式，努力了一下没想出来就醒了。

醒来想想，这个问题有点意思，因为答案是 ω-n=Fn+1+Fnω。

其中 {Fn}为斐波那契数列，即满足 F1=F2=1，且对 n>1 有 Fn+1=Fn+Fn-1。

证明当然不难，而且办法很多，但似乎没有 trivial 的。

所以我就拿给中学生去做了。

02、梦到本科题

不知怎么梦到一个数{an} 满足递推关系

。醒来想想，类似的递推关系见过不少，但与此相同的没见过（哪位见过请指教）。

这个递推关系有意思之处在于: 只要 a1>0，所得的数列总是收敛的，但可能是单增的，也可能是单减的，还可能是既不增也不减的。

而且其极限总是 ω-1。

递推关系还可改为

，其中 a 是一个固定的正实数。

我觉得这个题目够作为一个本科数学竞赛题的。您觉得呢？

03、梦到李群与李代数问题之一

设复变元 z 的幂级数

的收敛半径为R（可能为∞)，n阶复方阵 T 的特征值的绝对值都小于 R。则矩阵幂级数

收敛。

这是我在讲李群与李代数课程时学生提出的问题，讲课也用得着。当时的想法是化为若尔当标准型，这样证明没问题，但感觉有点隐患，结果在梦中暴露出来。

在梦中遇到这个问题，却是和李群与李代数课程中经常遇到的另一个问题——解析性联系了起来。具体说，如果n阶复方阵 T= (tij)，将其中的 tij 都看作变元，那么 f(T) 中的变元是否都是诸 tij 的解析函数呢？

在梦中苦苦挣扎，因为用若尔当标准型的办法好像怎么也过不去，就这样醒了。这个梦是忘不了的，尽管还不能算是噩梦。后面就是梦醒后的故事了。

醒来后想想，上述问题的答案应该是肯定的，但用若尔当标准型即使可以做，恐怕也很麻烦，因为需要用到特征根，就会遇到单值阻碍（monodromy obstruction），真的苦了。

最好能想个不用特征根的路子。后来受维尔斯特拉斯预备定理启发，有了个办法，写成下面的习题。

习 题

设复变元z的幂级数

的收敛半径为R（可能为∞)。T= (tij) 为n阶复方阵，正实数r<R。证明若T的特征值的绝对值都小于r，则

，并由此证明f(T)的元都是 tij (1≤i, j≤n) 的解析函数。

这样我写的书里就增加了一道习题。如果您做了这个习题，就会觉得我这个梦没白做了。

04、梦到李群与李代数问题之二

下面说的这个梦，尽管是转瞬即逝，要听痴人说梦却有点辛苦，需要跟着做好几个习题才行。

在梦中也是苦苦挣扎，这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说，吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。

醒来后想想，在梦中算的是什么李群的李代数呢？一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗？

无穷小运动！明白了，在梦中算的是运动群。

这还真是个问题，一般的教科书中没有。为了详细解释，我把需要做的习题逐个列出，不想做的就别往下看了。

习 题 1

设V为实线性空间

，则

。定义一个映射 σ:V→V。易见σ是一一映射，即

。所有这样的映射组成 Per(V) 的一个子群，记为

。证明

有一个自然的李群结构，其中满足 T=idV 的元组成一个正规李子群H，而

习 题 2

设V为欧几里德空间（内积为<,>）。一个映射 σ:V→V 称为运动，如果它保持距离，即对任意

有

。证明

，具体说有一个正交变换

及一个

使得对任意

，有

。证明所有运动组成

的一个李子群，记为

这些都是我在做梦之前就知道的，所以在梦中出现并不奇怪。而梦中的潜意识就引导到计算

的李代数。由于

不是

的子群，关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用

的一个很好的线性表示来解决这个问题。这样就在书中又增加了一道习题。

梦中能做数学题吗？

日有所思，夜有所梦。每天都在做数学，梦中就出现了数学问题。从中学题目到部分大学在研究生才学习的李群和李代数，有这么几道有意思的题，姑且记来。

撰文｜咸道

《红楼梦》中有一个故事：香菱学作诗，用了很多苦功也没能作好，却在梦中作出一首好诗。当然这有点“怪力乱神”的味道。据说著名的小提琴曲《魔鬼的颤音》也是在梦中作出的。那么在现实中这样的事真的能发生吗？我所关心的是：在梦中能做数学吗？

也许某些天才可以，而吾等凡夫俗子是不行的。在我的梦中，场景变化很快，而且是跳跃式的，每个场景持续的时间很短，更谈不上逻辑性。而要证明一个定理，需要多步推理且还要反复检验，在梦中当然不可能做到。

但是，在梦中出现一个好的 idea 倒并非不可能。如作诗梦见一个妙词或妙句，我还是相信的。但另一个问题是，绝大多数梦境在醒来时都忘了，只有在梦见妙句时突然醒来，才有可能记下并传之于世。

对于数学，这样的好事最近我遇到多次，写出来与大家分享，就是数学的“痴人说梦”了。

先得说明一下“日有所思”，才好解释什么是“夜有所梦”。

由于新冠肺炎流行，我和大家一样宅在家里。首先要做的是修订《李群与李代数基础》一书。这是2015年出版社就约稿的，去年8月我计划再讲一次定稿。尔后顺利讲完，但整理书稿的工作量仍很大。幸乎不幸乎，新冠肺炎让我有了时间，而且学校延期开学，开学后又是网上授课，这样我有了近两个月的连续工作时间，终于在上周完成了修订工作，向出版社交稿了。所以现在有时间聊些轻松愉快的话题。

开学后的教学工作，当然也是与数学有关的。一方面是研究生课程《交换代数与同调代数》，我觉得上网课肯定是不行的，遂采用了“网上讨论班”的授课方式。实行以来相当有效，因为同学们提出的问题往往是同学们先回答，而且到处查阅资料。大家在微信群中上传的文件也很多，有些贪婪的同学把整本的厚书上传，如EGA（格罗滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的简写，即《代数几何原本》）和布尔巴基学派的书。除了研究生课程，我还有对本科生甚至中学生的教学任务，这些目前还没有值得一提的进展，但仍在努力。

应该说这些工作的难度都不大，否则我晚上只会做噩梦。但毕竟每天都在玩数学，梦中就会常出现数学问题，有几个醒来时还没忘，而且觉得有点意思，下面就一个个写出来。不是按照做梦的时间顺序，而是按照难度从低到高排列的。

01 梦到数学题

02 梦到本科题

03 梦到李群与李代数问题之一

04 梦到李群与李代数问题之二

下面说的这个梦，尽管是转瞬即逝，要听痴人说梦却有点辛苦，需要跟着做好几个习题才行。

在梦中也是苦苦挣扎，这次是努力用直线的无穷小运动计算李代数。如我在前文所说，吾等凡夫俗子肯定是算不出的。挣扎着就醒了。

醒来后想想，在梦中算的是什么李群的李代数呢？一般的线性群的李代数在教科书中不是都有计算吗？

无穷小运动！明白了，在梦中算的是运动群。

这还真是个问题，一般的教科书中没有。为了详细解释，我把需要做的习题逐个列出，不想做的就别往下看了。

​由于ΓO(V,<,>)不是GL(V)的子群，关于线性群的李代数的结果不能直接套用。但可利用

的一个很好的线性表示来解决这个问题。

这样就在书中又增加了一道习题。

诸位在抗疫期间都好吗？问候大家了。

如果您成天看的都是疫情消息，这篇文章就算是给您打打岔了。

在这段时间能做几个好梦，也算是不幸之中的小幸了。

不知诸位是否也做过数学的好梦，若有请拿来分享。

谢谢大家。

遇到数学题死活做不出来，你当时的感受是这样的吗？

那就像是“难产”，但不同的是，自己的脸上是波澜不惊，但是大脑在歇斯底里；更不同的是，“难产”起码肚子还有“货”，但是自己连“货”都没有啊！

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首先，拿到试卷和草稿纸，眼睛一瞄，这道题看起来考察立体几何，心想：“糟糕，这类题会的不对啊。”“莫慌！先把公式写在草稿纸上，对着挑肯定能挑到合适的公式的！”于是乎，开始奋笔疾书，就像这样：

一通操作猛如虎，一看公式……

还是没有思路啊！密密麻麻的公式似乎在扰乱我的思路。这是突然想起老师说应该这类题应该连辅助线。对呀！让我开始连辅助线！

Two thousand later……

还是没有找到辅助线，于是开始把能连上的两个点都连一遍……

反反复复，反反复复，铃铃铃，考试时间终于到了，交卷！放学回家。

且不提拿着卷子，看着红色的勾勾叉叉，还要拿着卷子看，信誓旦旦地保证自己下次一定会做得更好。心里想，谁能够确保明天发生的事情呢？

就说每年高考时都会做噩梦！每天的6月初都会梦见数学题做不出来，老师追着我，我在前面跑，好像欠了被人500万一样。醒来喘着粗气才发现是虚惊一场，呼吸急促的同时才慢慢反应出来，原来自己已经毕业很久了，数学好像跟自己没有什么必然联系很久了。

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所以，什么原因导致数学题死活做不出来呢？

1、基础题目没思路——基础知识点没吃透

你可能只是知道定理讲了什么内容，但是却不知道定理应该在什么时候应用，怎么使用。

2、中难度题不会做：知识点之间联系没有搞懂。

有些同学选择题做得比较好，到大题就开始头疼了，绞尽脑汁也找不到解题思路。这是因为很多时候选择题之针对一个知识点进行考察，大题一般会综合3-4个知识点进行考察，一旦题目之间连接的知识点出现断层，就不知道怎么解题了。

大范围的知识点要组建成网络，完全掌握要花一定时间，是要下大功夫的。

解决方法：

1、学会看解析。

有些学生拿到题目解析，看完以后恍然大悟，原来这么简单！再遇到类似的题目发现自己还是完全不会。解析一是要看见解题思路，二是要看切入点。

2、学会双向推导。

双向推导即正向推导和逆向推导思维双管齐下。数学习题有题干和问题两个部分组成，将题干和已知的数学结论连接起来，就能形成完整的逻辑链条。就像你走在迷宫中，只要找到了迷宫的入口，走出去只是时间问题。在做题时，从做题的过程和问题中双向入手，也许你会发现解题更简单了。

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虽然，数学虐我千百遍，但我待其如初恋……